本书是作者在东南大学连续20多年讲授“数学分析”课程的基础上写成的，并已连续试用近10年。本书取名为“讲义”，最大特点就是一切从读者的角度去讲解，既注重数学思想的阐述和严格的逻辑推导，又突出实际背景与几何直观的描述，并适当穿插了一些数学文化的介绍。在编排上尽量体现先易后难和分步走的原则。习题分类安排，即分为A、B、C三类。其中，A类是基本题，B类是提高题，C类是讨论题。本书对讨论题给予更多关注，目的在于帮助学生厘清概念，增强研学与创新能力。
本书分为三册，第一册包括极限、连续、导数及其逆运算(不定积分)，第二册包括实数理论续(含上极限、下极限、欧氏空间)、定积分及多元微积分，第三册包括级数与反常积分(含参变量积分)等。
样章试读
目录
- 目录
致读者
第12章 曲线积分、曲面积分与场论初步 1
§12.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1
§12.1.1 第一型曲线积分 1
§12.1.2 第一型曲面积分 6
§12.2 第二型曲线积分与第二型曲面积分 10
§12.2.1 第二型曲线积分 10
§12.2.2 第二型曲面积分 15
§12.3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 24
§12.3.1 Green公式 24
§12.3.2 曲线积分与路径无关的条件 29
§12.3.3 Gauss公式 33
§12.3.4 Stokes公式 36
§12.4 场论初步 46
§12.4.1 场的概念 46
§12.4.2 数量场的等值面和梯度场 47
§12.4.3 向量场的通量与散度 48
§12.4.4 向量场的环量与旋度 50
§12.4.5 管量场与有势场 52
§12.4.6 Hamilton算子 53
第13章 反常积分 56
§13.1 反常积分的概念和计算 56
§13.1.1 反常积分的概念 56
§13.1.2 反常积分的性质与计算 61
§13.1.3 反常积分的Cauchy主值 64
§13.2 反常积分的收敛判别法 67
§13.2.1 无穷区间上的反常积分的收敛判别法 67
§13.2.2 瑕积分的收敛判别法 75
§13.3 反常重积分 80
§13.3.1 无穷反常重积分 80
§13.3.2 无界函数的反常二重积分 89
第14章 含参变量积分 93
§14.1 含参变量的常义积分 93
§14.1.1 含参变量积分的概念 93
§14.1.2 含参变量的常义积分所定义的函数的分析性质 94
§14.2 含参变量的反常积分 101
§14.2.1 含参变量的反常积分的一致收敛性 102
§14.2.2 含参变量反常积分一致收敛性的判别 103
§14.2.3 一致收敛积分的分析性质 109
§14.3 Euler积分 117
§14.3.1 Beta函数 117
§14.3.2 Gamma函数 119
§14.3.3 Beta函数与Gamma函数的关系 122
§14.3.4 Euler公式的拓展：Legendre公式、余元公式和Stirling公式 124
第15章 数项级数 127
§15.1 数项级数的收敛性 128
§15.1.1 数项级数的概念 128
§15.1.2 级数Cauchy收敛原理 129
§15.2 正项级数 133
§15.2.1 Cauchy判别法(或根式判别法(root test)) 133
§15.2.2 D'Alembert判别法(或比式判别法(ratio test)) 134
§15.2.3 积分判别法(integral test) 135
§15.2.4 Raabe判别法 138
§15.2.5 其他一些判别法 139
§15.3 任意项级数 141
§15.3.1 交错级数与Leibniz判别法 141
§15.3.2 Abel判别法与Dirichlet判别法 143
§15.3.3 级数的绝对收敛与条件收敛 146
§15.3.4 级数的重排 147
§15.3.5 级数的乘法 151
§15.4 无穷乘积 156
§15.4.1 无穷乘积定义 156
§15.4.2 无穷乘积的性质 159
§15.4.3 无穷乘积与无穷级数的转化 160
§15.4.4 绝对收敛 161
第16章 函数项级数 164
§16.1 点态收敛和一致收敛 164
§16.1.1 点态收敛与收敛域 164
§16.1.2 函数项级数与函数列的基本问题 165
§16.1.3 一致收敛的定义 167
§16.1.4 函数列一致收敛与非一致收敛的判别 168
§16.2 级数一致收敛性的判别与一致收敛级数的性质 175
§16.2.1 函数项级数一致收敛性的判别 175
§16.2.2 一致收敛的函数列与函数项级数的性质 180
§16.3 幂级数 188
§16.3.1 幂级数的收敛域 189
§16.3.2 幂级数的性质 192
§16.3.3 Taylor级数与余项公式 195
§16.3.4 初等函数的幂级数展开 199
第17章 Fourier级数 208
§17.1 函数的Fourier级数展开 209
§17.1.1 平方可积函数空间与正交函数系 209
§17.1.2 周期为2π的函数的Fourier展开 211
§17.1.3 正弦级数和余弦级数 214
§17.1.4 任意周期的函数的Fourier展开 217
§17.2 Fourier级数的收敛判别法 218
§17.2.1 Dirichlet积分 219
§17.2.2 Riemann引理及其推论 220
§17.2.3 Fourier级数的收敛判别法 223
§17.3 Fourier级数的性质 228
§17.3.1 Fourier级数的分析性质 228
§17.3.2 Fourier级数的平方逼近性质 230
§17.4 Fourier变换 234
§17.4.1 Fourier积分 234
§17.4.2 Fourier变换及其逆变换 237
§17.4.3 Fourier变换的性质 239
参考文献 243
附录 数学分析III试卷 244
索引 251
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