本书简要介绍符号计算在可积系统中的一些应用.全书内容共五章：第1章为绪论,简单介绍Lie代数及Lie超代数,可积系统及其扩展,自相容源和守恒律,孤子方程的求解,数学机械化、符号计算及其在可积系统中应用.第2章借助符号计算,利用不同的方法研究了几类可积方程族和超可积方程族的可积耦合.第3章利用符号计算研究了Li族非线性可积耦合的自相容源和守恒律及几类超可积系统的自相容源和守恒律.第4章介绍了分数阶导数的定义与性质,借助符号计算研究了分数阶可积系统与超可积系统.第5章用不同的方法研究了几类孤子方程的精确解.
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第1章 绪论 1
1.1 Lie代数及Lie超代数简介 1
1.2 可积系统及其扩展 4
1.3 自相容源和守恒律 8
1.4 孤子方程的求解 10
1.5 数学机械化、符号计算及其在可积系统中应用 11
第2章 孤子族的非线性可积耦合 14
2.1 耦合mKdV方程族的可积耦合 15
2.1.1 二次型恒等式 15
2.1.2 耦合mKdV方程族 17
2.1.3 耦合mKdV方程族可积耦合 20
2.1.4 可积耦合的Hamilton结构 25
2.2 Guo族的非线性可积耦合 27
2.2.1 非线性可积耦合的概念 27
2.2.2 Guo族及其非线性可积耦合 29
2.2.3 非线性可积耦合的Hamilton结构 33
2.3 Lie代数构造非线性可积耦合 36
2.3.1 一个新的Lie代数 36
2.3.2 应用 38
2.3.3 可积耦合的Hamilton 结构 41
2.4 Broer-Kaup-Kupershmidt 族的非线性双可积耦合 46
2.4.1 矩阵Lie代数和非线性双可积耦合 46
2.4.2 Broer-Kaup-Kupershmidt 族 48
2.4.3 Broer-Kaup-Kupershmidt 族的非线性双可积耦合 50
2.4.4 Hamilton结构 53
2.5 超Kaup-Newell族的非线性可积耦合 56
2.5.1 超可积耦合 56
2.5.2 超Kaup-Newell族 58
2.5.3 超Kaup-Newell族非线性可积耦合 61
2.5.4 超Hamilton结构 65
2.5.5 方程族的约化 68
第3章 可积与超可积系统的自相容源与守恒律 70
3.1 Li族非线性可积耦合的自相容源与守恒律 70
3.1.1 Li族的非线性可积耦合 70
3.1.2 带自相容源的Li族非线性可积耦合 74
3.1.3 Li族非线性可积耦合的守恒律 77
3.2 超Tu族的自相容源与守恒律 82
3.2.1 第一类超Tu族 82
3.2.2 第一类超Tu族的自相容源 85
3.2.3 第一类超Tu族的守恒律 87
3.2.4 第二类超Tu族 90
3.2.5 第二类超Tu族的自相容源 94
3.2.6 第二类超Tu族的守恒律 95
3.3 超Guo族的自相容源与守恒律 98
3.3.1 超Guo族 98
3.3.2 超Guo族的自相容源 101
3.3.3 超Guo族的守恒律 103
3.4 新6分量超孤子族的自相容源与守恒律 106
3.4.1 新6分量超孤子族 106
3.4.2 超Hamilton结构 111
3.4.3 新6分量超孤子族的自相容源 113
3.4.4 新6分量超孤子族的守恒律 116
第4章 分数阶可积与超可积系统 119
4.1 分数阶可积系统 120
4.1.1 分数阶导数的定义与性质 120
4.1.2 广义分数阶变分恒等式 122
4.2 Kaup-Newell族的分数阶可积耦合及其Hamilton结构 125
4.2.1 Kaup-Newell族的分数阶可积耦合 125
4.2.2 Hamilton结构 129
4.3 分数阶Kaup-Newell族的双可积耦合及其Hamilton结构 131
4.3.1 分数阶Kaup-Newell 族 131
4.3.2 分数阶双可积耦合 132
4.3.3 分数阶Hamilton 结构 136
4.4 分数阶超可积系统 140
4.4.1 分数阶超迹恒等式 140
4.4.2 分数阶超Broer-Kaup-Kupershmidt族 143
4.4.3 分数阶超Broer-Kaup-Kupershmidt族的非线性可积耦合 147
第5章 孤子方程的精确解 151
5.1 代数几何解发展简介 151
5.2 广义Kaup-Newell方程的Hamilton结构和代数几何解 152
5.2.1 广义Kaup-Newell方程 152
5.2.2 广义Kaup-Newell方程族的Hamilton结构 155
5.2.3 可解的常微分方程 157
5.2.4 广义Kaup-Newell方程的代数几何解 161
5.3 广义Broer-Kaup-Kupershmidt 孤子方程的拟周期解 167
5.3.1 Lenard序列与孤子族 167
5.3.2 特征值问题的非线性化和守恒积分的对合性 170
5.3.3 椭圆坐标和可积性 173
5.3.4 流的拉直与拟周期解 176
5.3.5 小结 180
5.4 Darboux变换简介 180
5.5 一个新孤子方程族的Darboux变换及其精确解 184
5.5.1 Lenard序列与孤子族 184
5.5.2 Darboux变换 187
5.5.3 精确解 193
5.6 Manakov方程的Darboux变换及其精确解 196
5.6.1 Manakov方程 196
5.6.2 Darboux变换 198
5.6.3 精确解 208
5.7 双线性方法简介 214
5.8 Hirota-Satsuma方程的 N-孤子解 216
5.9 一个 (2+1)-维浅水波方程的N-孤子解 219
参考文献 226
索引 245
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