本书共12章，包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、空间解析几何初步、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、微分方程、数学实验等内容。书后附有积分表、几种常用的曲线和各章节习题及总习题的参考答案。本书注重概念与定理的直观描述与背景介绍，强调理论联系实际。为了便于读者阶段性复习，每章末给出了A类和B类习题，其中A类习题适合初次接触微积分知识的学生，B类习题适合学有余力和准备考研的学生。
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前言
第1章 函数与极限 1
1.1函数 1
1.1.1集合 1
1.1.2区间和邻域 2
1.1.3函数的概念 3
1.1.4函数的几种性质 6
1.1.5反函数与复合函数 9
1.1.6初等函数 11
习题1-1 14
1.2数列的极限 16
1.2.1数列极限的定义 16
1.2.2收敛数列的性质 19
习题1-2 21
1.3函数的极限 22
1.3.1函数极限的定义 22
1.3.2函数极限的性质 29
习题1-3 30
1.4无穷小与无穷大 31
1.4.1无穷小 31
1.4.2无穷大 32
习题1-4 33
1.5极限运算法则 33
1.5.1无穷小量的运算法则 33
1.5.2函数极限的四则运算法则 34
1.5.3复合函数的极限运算法则 39
习题1-5 40
1.6极限存在准则 两个重要极限公式 41
习题1-6 46
1.7无穷小的比较 47
习题1-7 50
1.8函数的连续性与间断点 50
1.8.1函数的连续性 50
1.8.2函数的间断点 53
习题1-8 55
1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 56
1.9.1连续函数的四则运算的连续性 56
1.9.2反函数与复合函数的连续性 56
1.9.3初等函数的连续性 57
习题1-9 59
1.10闭区间上连续函数的性质 60
习题1-10 63
总习题一（A） 64
总习题一（B） 66
第2章 导数与微分 69
2.1导数概念 69
2.1.1引例 69
2.1.2导数的定义 71
2.1.3导数的几何意义 75
2.1.4可导与连续的关系 78
习题2-1 79
2.2函数的求导法则与基本导数公式 80
2.2.1四则运算的求导法则 80
2.2.2反函数的求导法则 82
2.2.3 复合函数的求导法则 84
2.2.4基本求导法则与导数公式 87
习题2-2 89
2.3高阶导数 91
2.3.1高阶导数的定义 91
2.3.2一些常见函数的n阶导数公式 92
2.3.3高阶导数的运算法则 94
习题2-3 95
2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 96
2.4.1隐函数的导数 96
2.4.2由参数方程所确定的函数的导数 99
2.4.3相关变化率 101
习题2-4 103
2.5 函数的微分 104
2.5.1微分的定义 104
2.5.2基本微分公式与微分运算法则 106
2.5.3微分的几何意义 108
2.5.4微分在近似计算中的应用 109
习题2-5 110
总习题二（A） 111
总习题二（B） 112
第3章 微分中值定理与导数的应用 115
3.1微分中值定理 115
3.1.1函数的极值 115
3.1.2微分中值定理 117
习题3-1 123
3.2泰勒公式 124
习题3-2 130
3.3洛必达法则 131
3.3.1型未定式的洛必达法则 131
3.3.2型未定式的洛必达法则 133
3.3.3其他类型的未定式 134
习题3-3 136
3.4函数的单调性与曲线的凹凸性 137
3.4.1函数单调性的判定法 137
3.4.2曲线的凹凸性及拐点 140
习题3-4 144
3.5函数的极值与最值 145
3.5.1函数的极值 145
3.5.2最值问题 148
习题3-5 150
3.6函数图形的描绘 151
3.6.1曲线的渐近线 151
3.6.2函数图形的描绘 154
习题3-6 156
3.7曲率 156
3.7.1弧微分 156
3.7.2曲率及其计算公式 157
3.7.3曲率圆、曲率中心与曲率半径 161
3.7.4渐屈线与渐伸线 163
习题3-7 165
总习题三（A） 165
总习题三（B） 167
第4章 不定积分 170
4.1不定积分的概念与性质 170
4.1.1原函数与不定积分的概念 170
4.1.2基本积分表 173
4.1.3不定积分的性质 173
习题4-1 176
4.2换元积分法 177
4.2.1第一类换元积分法 177
4.2.2第二类换元积分法 183
习题4-2 188
4.3分部积分法 189
习题4-3 193
4.4几种特殊类型函数的积分 194
4.4.1有理函数的不定积分 194
4.4.2三角函数有理式的积分 198
4.4.3简单无理函数的积分 199
习题4-4 201
4.5积分表的使用 202
习题4-5 203
总习题四（A） 203
总习题四（B） 206
第5章 定积分及其应用 209
5.1定积分的概念与性质 209
5.1.1引例 209
5.1.2定积分的定义 211
5.1.3定积分的性质 215
习题5-1 218
5.2微积分学基本公式 219
5.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 219
5.2.2积分上限的函数及其导数 220
5.2.3牛顿-莱布尼茨公式 222
习题5-2 225
5.3定积分的换元法和分部积分法 226
5.3.1定积分的换元法 226
5.3.2定积分的分部积分法 230
习题5-3 233
5.4广义积分 235
5.4.1无穷限的广义积分 235
5.4.2无界函数的广义积分 237
习题5-4 240
5.5定积分的元素法及其应用 240
5.5.1定积分的元素法 240
5.5.2定积分在几何学上的应用 242
5.5.3定积分在物理学上的应用 249
习题5-5 254
总习题五（A） 255
总习题五（B） 257
第6章 空间解析几何初步 261
6.1空间直角坐标系 261
6.1.1空间中的点的直角坐标 261
6.1.2空间两点间的距离 262
习题6-1 264
6.2向量代数 264
6.2.1向量的概念 264
6.2.2向量的运算 265
6.2.3向量的坐标 268
6.2.4向量在轴上的投影 270
6.2.5两个向量的数量积和向量的方向余弦 271
6.2.6两个向量的向量积 275
6.2.7向量的混合积 278
习题6-2 280
6.3空间的平面与直线 281
6.3.1平面及其方程 281
6.3.2空间直线及其方程 284
6.3.3点、直线、平面之间的位置关系 287
6.3.4平面束 291
习题6-3 293
6.4空间的曲面与曲线 295
6.4.1曲面方程的概念 295
6.4.2一些常见的曲面 296
6.4.3二次曲面 299
6.4.4空间曲线的方程 303
6.4.5曲面的参数方程 305
6.4.6空间曲线在坐标面上的投影 306
习题6-4 308
总习题六（A） 310
总习题六（B） 312
第7章 多元函数微分法及其应用 314
7.1多元函数的基本概念 314
7.1.1平面点集的一些概念 314
7.1.2n维空间 317
7.1.3多元函数的概念 317
7.1.4多元函数的极限 320
7.1.5多元函数的连续性 322
习题7-1 324
7.2偏导数 325
7.2.1偏导数的定义及其计算方法 325
7.2.2高阶偏导数 329
习题7-2 332
7.3全微分 333
7.3.1全微分的定义 333
7.3.2可微的必要条件与充分条件 334
7.3.3全微分在近似计算中的应用 337
习题7-3 339
7.4多元复合函数的微分法 339
7.4.1多元复合函数的求导法则 339
7.4.2全微分的形式不变性 344
习题7-4 345
7.5隐函数的微分法 346
7.5.1一个方程的情形 346
7.5.2方程组的情形 349
习题7-5 351
7.6多元微分学在几何上的应用 352
7.6.1空间曲线的切线与法平面 352
7.6.2曲面的切平面与法线 356
习题7-6 359
7.7方向导数与梯度 359
7.7.1方向导数 359
7.7.2梯度 363
习题7-7 366
7.8多元函数的极值及其求法 367
7.8.1多元函数的极值 367
7.8.2条件极值拉格朗日乘数法 370
习题7-8 375
7.9数学模型 376
7.9.1最优化模型 376
7.9.2最小二乘法模型 377
习题7-9 379
总习题七（A） 380
总习题七（B） 381
第8章 重积分 383
8.1二重积分的概念与性质 383
8.1.1二重积分的概念 383
8.1.2二重积分的性质 386
习题8-1 388
8.2二重积分的计算方法 389
8.2.1利用直角坐标计算二重积分 389
8.2.2利用极坐标计算二重积分 395
习题8-2 400
8.3三重积分 402
8.3.1三重积分的概念 402
8.3.2三重积分的计算 403
习题8-3 408
8.4重积分的应用 409
8.4.1曲面的面积 409
8.4.2质心 411
8.4.3转动惯量 413
8.4.4引力 414
习题8-4 416
总习题八（A） 417
总习题八（B） 420
第9章 曲线积分与曲面积分 424
9.1第一类曲线积分 424
9.1.1第一类曲线积分的概念与性质 424
9.1.2第一类曲线积分的计算 427
习题9-1 429
9.2第二类曲线积分 429
9.2.1第二类曲线积分的概念与性质 429
9.2.2第二类曲线积分的计算 433
9.2.3两类曲线积分之间的联系 436
习题9-2 437
9.3格林公式及其应用 438
9.3.1格林公式 438
9.3.2平面曲线积分与路线无关的条件 443
9.3.3原函数计算的例题 446
习题9-3 448
9.4第一类曲面积分 449
9.4.1第一类曲面积分的概念与性质 449
9.4.2第一类曲面积分的计算 450
习题9-4 453
9.5第二类曲面积分 454
9.5.1第二类曲面积分的概念与性质 454
9.5.2第二类曲面积分的计算 458
9.5.3两类曲面积分之间的联系 460
习题9-5 462
9.6高斯公式与斯托克斯公式 463
9.6.1高斯公式 463
9.6.2斯托克斯公式 466
习题9-6 469
9.7散度与旋度 470
9.7.1散度 470
9.7.2旋度 471
习题9-7 473
总习题九（A） 473
总习题九（B） 475
第10章 无穷级数 478
10.1常数项级数的概念与性质 478
10.1.1常数项级数的概念 478
10.1.2无穷级数的性质 481
习题10-1 484
10.2正项级数 485
习题10-2 492
10.3一般项级数及其审敛法 493
10.3.1交错级数及其审敛法 493
10.3.2绝对收敛与条件收敛 495
习题10-3 498
10.4幂级数 498
10.4.1函数项级数的概念 499
10.4.2幂级数及其收敛区间 500
10.4.3幂级数的运算 504
习题10-4 507
10.5函数展开成幂级数 508
10.5.1泰勒级数 508
10.5.2函数展开成幂级数 510
习题10-5 515
10.6函数的幂级数展开式的应用 515
10.6.1近似计算 515
10.6.2欧拉公式 518
习题10-6 519
10.7傅里叶级数 519
10.7.1三角级数与三角函数系的正交性 519
10.7.2收敛定理与函数展开成傅里叶级数 522
习题10-7 526
10.8一般周期函数的傅里叶级数 526
10.8.1周期为2l的周期函数的傅里叶级数 526
10.8.2正弦级数和余弦级数 528
习题10-8 532
总习题十（A） 532
总习题十（B） 536
第11章 微分方程 539
11.1微分方程的基本概念 539
习题11-1 542
11.2可分离变量的微分方程 543
11.2.1可分离变量的微分方程 543
11.2.2齐次方程 545
习题11-2 549
11. 一阶线性微分方程 549
11.3.1一阶线性微分方程 549
11.3.2伯努利方程 553
习题11-3 554
11.4全微分方程 555
习题11-4 557
11.5可降阶的高阶微分方程 558
11.5.1型的微分方程 558
11.5.2型的微分方程 558
11.5.3型的微分方程 561
习题11-5 563
11.6高阶线性微分方程 563
11.6.1齐次线性微分方程解的结构 564
11.6.2非齐次线性微分方程解的结构 565
习题11-6 567
11.7常系数齐次线性微分方程 567
习题11-7 571
11.8 常系数非齐次线性微分方程 欧拉方程 571
11.8.1型 572
11.8.2型 575
11.8.3欧拉方程 576
习题11-8 578
11.9微分方程的简单应用 578
习题11-9 589
总习题十一（A） 591
总习题十一（B） 591
第12章 数学实验 594
12.1函数作图 594
12.1.1一元函数作图（二维图形） 594
12.1.2空间曲线的绘制 597
12.1.3空间曲面的绘制 599
12.1.4球面和旋转曲面的绘制 601
12.1.5综合作图 602
12.2函数极限的计算 604
12.2.1求函数的极限 604
12.2.2作图观察函数的连续性 606
12.3函数的导数及微分计算 608
12.3.1一元显函数求导 608
12.3.2隐函数和由参数方程确定函数的求导 610
12.3.3多元函数的偏导数计算 611
12.3.4多元函数极值的计算 614
12.4函数的积分计算 616
12.4.1不定积分的符号计算 616
12.4.2定积分和广义积分的符号计算 619
12.4.3定积分的数值计算 623
12.4.4二重积分和三重积分的计算 625
12.5无穷级数 628
12.5.1级数求和 628
12.5.2数项级数判敛 629
12.5.3泰勒级数和傅里叶级数的展开 631
12.6常微分方程 634
12.6.1常微分方程符号解的求解 634
12.6.2常微分方程的数值解求解 635
参考文献 638
附录Ⅰ 积分表 639
附录Ⅱ 几种常用的曲线 645
参考答案 648
京公网安备 11010102004214号