本书主要研究非线性微分方程、超对称方程和超离散方程的可积性与解析方法，包括方程之间的变换关系、可积簇的构造、对称与守恒律、孤立子解与拟周期波解和可积性质。全书共五部分：第一部分介绍孤立子与可积系统的研究背景和发展历史；第二部分讨论微分方程之间的变换关系、算法及应用，非线性波方程的Darboux与Backlund变换，以及构造近似解的微分变换方法及应用；第三部分系统分析微分方程的对称与守恒律，为了寻找微分方程更丰富的解析性质，进一步讨论非局域守恒律、非局域对称和广义群不变解；第四部分讨论微分方程的孤立子解和拟周期波的构造性理论，并分析拟周期波解的极限性行为；第五部分介绍微分方程、超对称方程和超离散方程的可积性及其解析性等。
样章试读
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前言
第一部分 非线性波的发展史
第1章 孤立子理论与可积系统的发展史 3
1.1 孤立子的研究概要 3
1.2 可积系统的研究概要 5
1.2.1 有穷维哈密顿系统 6
1.2.2 无穷维哈密顿系统 7
1.2.3 无穷与有穷维哈密顿系统之间的联系 10
1.2.4 代数几何解 10
1.3 非线性微分方程求解的发展概要 11
1.3.1 反散射方法 11
1.3.2 Backlund和Darboux变换 12
1.3.3 Hirota双线性方法 12
1.3.4 李对称理论 13
1.3.5 其他方法的研究 14
1.4 超对称方程和超离散方程的发展概要 14
参考文献 16
第二部分 变换方法与可积簇
第2章 微分方程之间变换方法 29
2.1 AC=BD模式的介绍 29
2.2 李对称群在微分方程之间变换的理论 30
2.3 李对称群在AC=BD理论框架下的应用 32
2.3.1 多个因变量的非线性PDE到线性PDE的可逆变换 32
2.3.2 单个因变量的非线性PDE到线性PDE的可逆变换 35
2.3.3 变系数线性PDE到常系数线性PDE的可逆变换 37
参考文献 39
第3章 非线性微分方程的Darboux和Backlund变换及其应用 41
3.1 三类N-重Darboux变换 41
3.1.1 广义导数NLS方程的N重Darboux变换 41
3.1.2 广义导数NLS方程的周期波解 49
3.2 Backlund和Darboux变换 55
3.2.1 Painleve截断展开的奇异流形法 55
3.2.2 Darboux变换及其Grammian形式解 59
3.3 非线性微分方程的微分变换-Pade逼近方法 63
3.3.1 微分变换-Pade逼近方法 63
3.3.2 浅水波Camassa-Holm方程 64
参考文献 67
第4章 哈密顿Lattice簇的Lax可积性、约化及其Darboux变换 69
4.1 一类新的多哈密顿Lattice簇的Lax可积性及其约化 69
4.2 一类新的多哈密顿Lattice簇的Darboux变换 76
参考文献 79
第5章 自容源mKP方程簇 80
5.1 自容源mKP方程及其向前、向后和二元Darboux变换 80
5.1.1mKP方程向前的Darboux变换 80
5.1.2mKP方程向后的Darboux变换 81
5.1.3mKP方程的二元Darboux变换 81
5.2 自容源mKP方程的广义二元Darboux变换 83
5.3 自容源mKP方程的几种类型的解 89
参考文献 93
第三部分 对称与守恒律及其应用
第6章 非局域对称与守恒律 97
6.1 Euler算子与守恒律乘子 97
6.1.1 Euler算子与守恒律乘子简介 97
6.1.2 非线性微分方程的守恒律 98
6.2 Noether定理和Boyer定理在守恒律乘子算法下的局限性 100
6.3 非局域相关PDE系统及其树形结构 101
6.3.1 非线性微分方程的势系统和子系统 101
6.3.2 非线性扩散方程的非局域PDE系统及其树形结构 103
6.4 非局域理论的应用 108
6.5 非线性扩散方程的非局域对称、非局域守恒律与非局域线性化 110
6.5.1 非线性扩散方程的非局域对称与非局域守恒律 110
6.5.2 非线性扩散方程的非局域线性化 111
参考文献 113
第7章 广义群不变解 115
7.1 非局域对称的广义群不变解 115
7.1.1 非局域对称的算法 115
7.1.2 非线性扩散方程 116
7.2 Kompaneets方程的非经典群不变解及其稳态解 119
参考文献 124
第四部分 孤立子解和拟周期波解
第8章 非线性微分方程的拟周期波解及其极限特性分析 127
8.1 非线性微分方程的广义Hirota-Riemann方法 127
8.1.1 双线性形式 127
8.1.2 非线性微分方程的周期波解 129
8.2 CDGSK方程 133
8.2.1 CDGSK方程的周期波解 133
8.2.2 CDGSK周期波的极限特性 135
8.3 (2+1)维的爆破孤立子方程 143
8.3.1 (2+1)维BS方程的周期波解 143
8.3.2 (2+1)维DBS方程的极限特性 147
参考文献 148
第9章 超对称方程的拟周期波解及其极限特性分析 149
9.1 超空间、超Hirota双线性算子和超Riemann Theta函数 149
9.2 超对称方程的超Hirota-Riemann方法 153
9.2.1 超对称方程的超Hirota双线性形式 153
9.2.2 超对称方程的超周期波解 154
9.3 超对称KdV-Burgers方程 160
9.3.1 超对称KdV-Burgers方程的超周期波解 161
9.3.2 超对称KdV-Burgers方程超周期波解的极限渐近特性 162
参考文献 165
第10章 超离散方程的拟周期波解及其极限特性分析 166
10.1 广义的离散mKdV方程的拟周期波解及其超离散化形式 166
10.1.1 广义的离散mKdV方程的拟周期波解 166
10.1.2 广义的离散mKdV方程的超离散化及其超周期波解 171
10.2 广义的(2+1)维Toda Lattice方程的超离散化及其超周期波解 173
参考文献 174
第五部分 可积性质
第11章 非线性微分方程的可积性质 177
11.1 多维的二元Bell多项式 177
11.2 广义变系数KP方程的可积性质 179
11.3 5 阶KdV方程的可积性质 198
参考文献 201
第12章 超空间上微分方程的可积性质 203
12.1 多维的超Bell多项式 203
12.2 多维的二元超Bell多项式 205
12.3 超对称方程的可积性质 207
12.4 广义超离散方程的Lax可积性 212
12.4.1 超离散Lattice Krichever-Novikov方程的Lax可积性 213
12.4.2 几类广义超离散方程的Lax可积性 217
12.5 有限亏格G的Riemann Theta函数的超离散化及其应用 221
12.5.1 带有有限亏格G的Riemann Theta函数的超离散化 221
12.5.2 广义耦合的超离散mKdV方程 223
参考文献 225
附录 非线性扩散方程的局部与非局部对称表 227
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