本书是在自然公理系统中建立概率论的第一部著作. 本书前五章建立因果空间、随机试验、概率空间、条件概率捆和独立性的理论, 重点介绍离散型、Kolmogorov 型、独立乘积型概率空间, 形成概率论的基础理论.
第 6、8 章论证随机变量、随机向量和宽随机过程是科学实验中子随机局部的数学模型;应用概率论基础理论介绍因果结构图、各种条件分布函数和独立性, 建立数学期望、方差和协方差等数字特征的知识, 形成随机变量和随机向量的基本理论, 以及随机过程的初步知识; 最后两章介绍两类最重要的统计规律——大数定理和中心极限定理.
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目录
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序
绪论 随机宇宙初探 1
0.1 随机现象 1
0.2 概率论原理Ⅰ 2
0.3 概率论原理Ⅱ 3
0.4 建立理论系统和数学模型 4
0.5 概率论用新思想新方式认识宇宙 4
第 1 章 因果空间——随机宇宙中前因后果的数学模型 10
1.1 随机事件和因果推理法 10
1.2 事件空间和符号演算法 19
1.3 因果空间和概率论第一基本定理 28
1.4 附录:集合论的基础知识 36
练习1 49
第 2 章 随机试验——随机局部中前因后果的数学模型 53
2.1 直观背景:随机局部中的前因后果 53
2.2 随机试验和概率论第二基本定理 58
2.3 用芽集构造随机试验、Borel 试验和离散型试验 68
2.4 实验——随机局部——随机试验 77
2.5 实验建模: (Ⅰ) 离散型试验; (Ⅱ)Borel 试验 80
练习2 86
第 3 章 概率空间 || 随机局部的因果量化模型 89
3.1 直观背景:概率的四种直观解释 90
3.2 概率空间和概率值计算 (Ⅰ) 96
3.3 古典型概率空间:等可能赋概法 105
3.4 几何型概率空间:几何赋概法 118
3.5 离散型概率空间:分布列赋概法 123
3.6 Kolmogorov 型概率空间:分布函数赋概法 135
3.7 n 维 Kolmogorov 型概率空间:n 元分布函数赋概法 151
练习3 168
第 4 章 条件概率捆 || 概率空间中全部统计规律 175
4.1 直观背景: 因子概率空间和条件概率空间 175
4.2 条件概率捆和概率值计算 (Ⅱ) 182
4.3 三类条件概率子捆和独立性 195
4.4 独立性原理和概率值计算 (Ⅲ) 208
练习4 214
第 5 章 乘积试验和独立乘积概率空间 218
5.1 二维情形 218
5.2 n 维情形 230
5.3 无限维情形 239
5.4 无限维 Kolmogorov 型概率空间: 有限维分布函数族赋概传 251
练习5 255
第 6 章 随机变量—子随机局部—因果结构图 (I) 258
6.1 直观背景和分析学中的函数概念 258
6.2 随机变量和它的因果结构图 265
6.3 分布函数和概率值计算 (IV) 272
6.4 随机变量的函数和四则运算 284
练习6 294
第 7 章 随机向量—子随机局部—因果结构图 (Ⅱ) 298
7.1 随机向量、因果结构图和概率值计算 (Ⅴ) 298
7.2 边沿随机向量; 独立性 312
7.3 X(!) 关于 Y (!) 的值密度{条件分布函数 FXjY (xjy) 322
7.4 随机向量的变换和随机变量的四则运算 334
7.5 宽随机过程—子随机局部—因果结构图 (III) 354
练习7 359
第 8 章 数字特征 || 随机变量统计性质的数值指标 365
8.1 随机变量的数学期望 366
8.2 随机变量的方差和矩 376
8.3 随机向量的数字特征 389
8.4 两类条件数学期望 400
练习8 409
第 9 章 特征函数:分布函数的 Fourier-Stieltjes 变换 413
9.1 随机变量的特征函数 413
9.2 随机向量的特征函数; 多维正态分布 427
9.3 分布函数列的弱收敛 446
练习9 455
第 10 章 大数定理和中心极限定理 459
10.1 四种收敛性 459
10.2 大数定理 468
10.3 中心极限定理 482
练习10 504
参考文献 508
附表 509
附表1 标准正态分布函数值表 509
附表2 泊松分布概率值表 510
名词索引 511