本书共有8 章, 涉及高等数学中的极限､微分､积分､级数､空间解析几何和线性代数等内容. 选题来自高等数学中的典型问题､大学数学竞赛､期刊中与高等数学相关的文章及作者的教学研究成果. 本书主要运用高等数学的理论工具对所选取的单元进行不同角度的分析和讨论,包括解决问题的方法､解题的思路及对某些问题进行进一步深入的归纳与推广.不少问题的求解具有独特性和新颖性,从而使得一些难题变得有序可循,更容易理解和接受. 本书的许多问题是读者在学习高等数学时想知道和感兴趣的,有助于读者加深对高等数学内容的理解､开阔解题思路和参加数学竞赛.
样章试读
目录
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第二版前言
第一版前言
部分精彩问题 1
第1章 函数与数列的极限 4
1.1有关函数的问题 4
1.2关于数列(sinn)敛散性 7
1.3数列前凡项均值的极限 12
1.4数列均值极限的推广 15
1.5递推数列的极限 19
1.6分式递推数列的极限 23
1.7斐波那契数列及相关极限 .29
1.8递推数列的渐近性 35
1.9数列极限lim朊=1的求法 40
1.10 -递推数列的几何解法及推广 43
1.11 由递推公式｡｡+1-o｡+土衍生出来的数列的收敛性 46
第2章 导数与中值定理 50
2.1微分中值定理的应用 50
2.2几个导数不等式 55
2.3 不等式sin z+tan z>2x的推广 59
2.4对数不等式的应用 62
2.5凸函数不等式的应用 65
2.5.1凸函数在微积分中的应用 66
2.5.2凸函数在初等不等式证明中的应用 68
2.6关于tan z和sec z的泰勒级数展开 71
2.7高阶导数有界的几个结果 76
2.8几个与e有关的数列不等式 80
2.9数e4是无理数的证明 85
2.10计算e的近似值到小数点后的10000位 90
第3章 导数的应用 94
3.1光滑凸函数的一个极值问题 94
3.2抛物线中细棒中点的最低位置 95
3.3最大视角问题及推广 98
3.3.1最大视角的几何解法 100
3.3.2最大视角在日常生活中的应用 101
3.3.3圆周上的最大视角问题 101
3.3.4圆周上最大视角的实际意义f｡ 104
3.3.5 圆周上最大视角的几何解释 104
3.4圆内接三角形定周长的面积最大值 105
3.5椭圆内接三角形底边平行移动的最大面积问题 107
3.6椭圆内接多边形的最大面积 111
3.7过河问题的再讨论 114
3.7.1传统河边洗手的问题 115
3.7.2过河问题的演变 115
3.7.3过河问题的推广 115
3.8代数方程z”+‰z=1正根的渐近性 117
3.9折纸问题中一个折痕最小值问题 122
3.10综合题 125
第4章 不定积分､定积分 129
4.1反函数的不定积分 129
4.2典型定积分的计算方法 130
4.2.1利用几何图形计算 130
4.2.2巧用分部积分 131
4.2.3利用公式进行递推讣算 132
4.2.4根据函数的符号来分区间计算 132
4.2.5利用函数的特性作变量代换 133
4.2.6几种方式综合起来进行计算 133
4.2.7经典的方法 134
4.2.8利用幂级数的和 134
4.2.9利用三角级数的和 135
4.2.10利用自变量变化时函数的递推公式 136
4.2.11化为已知的积分结果 137
4.2.12较强的计算功底 138
4.3几个常见的积分不等式 138
4.3.1流行不等式 138
4.3.2切比雪夫不等式 140
4.3.3康托洛维奇(Kantorovich)不等式 141
4.3.4 由微分中值定理导出的积分不等式 142
4.3.5积分不等式杂例 146
4.4积分中值定理中间值的渐近性 147
4.5 一个积分列的极限 148
4.6 Wallis公式的收敛速度 152
4.7斯特林公式的证明及应用 157
4.8圆周率兀是无理数的证明 160
4.9圆周率兀的计算 163
4.10单调增加函数幂次积分序列 ,”(x)clx=i}T的一个猜想 167
4.11被积函数的零点 170
4.12积分中核函数的应用 172
4.13函数广义矩唯一性问题 175
4 .14 道积分竞赛题 177
4.15黎曼引理的证明 180
4.16求定积分/smdz .183
第5章 定积分的应用 189
5.1两个抛物线之间的定面积问题 189
5.2直线与圆锥曲线围成定面积其弦上定比例点的轨迹 194
5.3凸函数积分的极小值问题I 197
5.4凸函数积分的极小值问题Il 199
5.5考研试题中一面积最小值问趣的推广 204
5.6绕直线旋转的旋转体的体积计算 208
5.7斜锥的体积 210
5.8锥体的体积的一个性质 213
5.9单调函数满足lim三 2,(t)出:｡的充要条件 215
5.10积分号下求最值的例子 217
第6章 级数的收敛与应用 220
6.1幂级数在递推数列中的应用 220
6.2与e相关的级数展开 224
6.3关于p级数的讨论 226
6.4关于级数∑arctan矛了丢干T的和 229
6.5 Sin z无穷乘积展开的初等证明 232
6.6傅里叶级数收敛定理及应用 235
6.7 r(x)与B(p,q)函数的关系公式 238
6.8 p项保号调和级数的求和 240
6.9关于级数的收敛的问题 243
6.10收敛保持函数 248
6.11黎曼级数的和∈(2k)=喜杀i的一个递推公式 249
6.12利用二进制展开的例子 252
6.13求级数的和的方法举例 255
第7章 与多项式函数相关的几个问题 259
7.1 贝尔(Baire)纲定理的应用 259
7.2多项式函数的一个等价条件 260
7.3关于每个变量为多项式的函数,(z,∥)就是一个二元的多项式函数 262
7.4多项式函数列收敛于多项式函数的条件 263
7.5圆上点的多项式逼近 264
7.6多项式函数与其导函数的几个性质 265
7.7取整函数M及最近整数距离函数II xII的应用 269
第8章 其他综合问题 272
8.1多元函数的最值问题 272
8.2辅助函数 277
8.3 -个追击问题 281
8.4旄轮线及最速下降速度 282
8.5线性函数相关命题的证明 284
8.6康托尔集和康托尔函数的简单性质 289
8.7向量积公式的简单证明 291
8.8与e相关的综合极限问题 292
8.9等周不等式的微积分证明 295
8.10圆锥曲线方程的解析几何推导 298
参考文献 303
索引 305
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