图像重构是计算机断层成像和电镜成像等领域中最重要的研究课题之一. 本书的主要内容包括图像重构的数学基础, 成像数据的采集原理及采集方法, 各种主要的重构算法, 如 Fourier 重构方法、反投影方法、代数重构方法等和最近发展起来的有效方法, 如 L2梯度流、压缩感知、Framelet方法、Bregman 迭代方法等, 以及相应的理论分析.
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《信息与计算科学丛书》序
前言
符号说明
第 1 章 引言1
1.1 医学图像重构问题的研究背景及发展现状1
1.1.1 医学图像重构问题的研究背景1
1.1.2 医学图像重构问题的发展现状2
1.2 冷冻电镜图像重构问题的研究背景及发展现状5
1.2.1 冷冻电镜图像重构问题的研究背景5
1.2.2 冷冻电镜图像重构问题的发展现状6
第 2 章 预备知识 9
2.1 记号、函数空间与常用公式9
2.2 Fourier 变换11
2.2.1 S(Rn) 上的 Fourier 变换11
2.2.2 S0(Rn) 上的 Fourier 变换12
2.3 特殊函数 13
2.4 Radon 变换及 X 射线变换16
2.4.1 Radon 变换及 X 射线变换的性质17
2.4.2 Radon 变换及 X 射线变换的对偶19
2.4.3 求逆公式21
2.4.4 Radon 变换和 X 射线变换的奇异值分解 23
2.5 采样定理及采样格式24
2.5.1 采样定理24
2.5.2 可分辨性28
2.5.3 采样格式32
2.6 样条函数 34
2.6.1 样条函数的定义及性质 34
2.6.2 刚度矩阵的快速求逆37
2.6.3 样条基函数乘积的积分 40
2.7 压缩感知 41
2.8 小波变换 47
2.8.1 连续小波变换 48
2.8.2 离散小波变换: 小波框架与正交小波基50
2.8.3 多分辨分析与小波的构造52
2.8.4 正交小波分解和重构的快速算法56
2.9 重构模型及适定性分析58
第 3 章 CT 数据及冷冻电镜图像的采集原理和方法 62
3.1 CT 数据采集原理 62
3.2 CT 数据采集方法 65
3.2.1 平行投影65
3.2.2 扇形束投影67
3.2.3 锥形束投影67
3.2.4 数据采集模式 68
3.3 冷冻电镜图像采集原理69
3.4 冷冻电镜图像采集方式71
第 4 章 平行束投影图像重构的经典方法 73
4.1 Fourier 重构方法73
4.2 反投影方法79
4.2.1 滤波反投影方法79
4.2.2 反投影滤波方法81
4.3 代数方法 83
第 5 章 医学 CT 图像的重构方法87
5.1 扇形束投影的图像重构87
5.1.1 等角扇形束投影的图像重构 87
5.1.2 等距扇形束投影的图像重构 91
5.2 锥形束投影的图像重构93
5.2.1 Tuy 公式93
5.2.2 FDK 算法96
5.2.3 Katsevich 公式99
5.3 内部问题的小波方法106
第 6 章 图像重构的梯度流方法112
6.1 特殊规整项的 L2 梯度流的显式有限元方法 112
6.1.1 L2 梯度流方法112
6.1.2 L2 梯度流的有限元求解算法114
6.1.3 B 样条基函数的施密特正交化 116
6.2 Cryo-EM 单颗粒重构的 L2GF 算法117
6.2.1 算法框架117
6.2.2 冷冻电镜单颗粒 L2GF 算法数值实验119
6.3 Cryo-ET 重构的 L2GF 算法 122
6.3.1 算法的一般框架122
6.3.2 保真项的计算122
6.3.3 正则项的计算128
6.3.4 Cryo-ET 重构的数值实验 129
6.4 一般规整项的 L2 梯度流的显式有限元方法 132
6.5 基于无穷投影角度的梯度流方法 135
6.5.1 基于无穷投影角度的图像重构模型 135
6.5.2 图像重构模型的初步探索137
6.5.3 显式有限差分方法142
6.5.4 半隐式有限元方法147
6.6 有限角度的半隐式有限元方法160
6.7 混合格式160
6.7.1 算法提出161
6.7.2 算法细节和复杂性分析166
6.7.3 数值实验167
第 7 章 图像重构的梯度流方法的理论分析173
7.1 显式有限元方法的收敛性173
7.1.1 选取 Tikhonov 型正则化项的收敛性分析173
7.1.2 选取修正 TV 正则化项的收敛性分析180
7.1.3 稳定性与鲁棒性分析184
7.2 无穷投影角度半隐式有限元方法的收敛性185
7.3 有限投影角度半隐式有限元方法的收敛性194
7.4 混合格式的收敛性195
第 8 章 冷冻电镜图像重构的双梯度下降法205
8.1 双梯度下降法205
8.2 梯度和几何流206
8.3 数值计算208
8.3.1 离散化 208
8.3.2 L2 梯度流211
8.3.3 计算组合方向214
8.3.4 步长曲线215
8.4 数值实验和讨论219
8.4.1 无噪声数据的数值实验219
8.4.2 信噪比为 10 的有噪声数据的数值实验 220
8.4.3 信噪比为 01 的有噪声数据的数值实验 222
第 9 章 基于稀疏逼近的图像重构方法 226
9.1 压缩感知方法226
9.1.1 压缩感知模型226
9.1.2 压缩感知模型与统计模型的关系228
9.2 小波紧框架方法231
9.2.1 算法及理论分析232
9.2.2 算法实现及数值实验236
9.3 Bregman 迭代法 240
9.3.1 经典的 Bregman 迭代算法240
9.3.2 分裂 Bregman 迭代算法 241
9.3.3 线性化 Bregman 迭代算法243
9.3.4 线性化分裂 Bregman 迭代算法243
9.3.5 收敛性分析252
9.3.6 数值实验262
第 10 章 冷冻电镜图像的重构的前处理 265
10.1 CTF 矫正、粒子挑选与对齐265
10.2 电镜图像分类267
10.2.1 预备知识267
10.2.2 分类算法270
10.2.3 实验结果275
10.2.4 注记 281
10.3 冷冻电镜图像的定向281
10.3.1 定向问题的描述 281
10.3.2 预备知识282
10.3.3 基于公共线的定向算法285
10.3.4 实验结果292
10.4 Cryo-ET 图像重构的前处理296
10.4.1 Cryo-ET 图像重构的流程296
10.4.2 Cryo-ET 图像的对齐297
第 11 章 重构图像的分割300
11.1 Mumford-Shah 模型300
11.2 RSF 模型302
11.3 光照非均匀的 Mumford-Shah 模型302
11.3.1 IIMS 模型的水平集形式304
11.3.2 分裂 Bregman 迭代算法 307
11.3.3 实验结果312
11.4 分片多项式的 Mumford-Shah 模型318
11.4.1 水平集形式 319
11.4.2 数值计算321
参考文献325
索引344
《信息与计算科学丛书》已出版书目347
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