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从面积问题到Louville理论


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从面积问题到Louville理论
  • 书号：9787030444097
    作者：
  • 外文书名：
  • 装帧：平装
    开本：16
  • 页数：110
    字数：120
    语种：
  • 出版社：
    出版时间：2016-02-25
  • 所属分类：
  • 定价： ￥38.00元
    售价： ￥30.02元
  • 图书介质:
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本书从切线和面积问题谈起,在极短的篇幅内清晰地讲解了微积分最本质的内容,包括了外微分运算的几何意义和Stokes公式,以及函数的层饼表示和若干重要的不等式．本书通过几何概率讲解了积分几何并应用到Benneson型等周不等式,详细地证明了测度集中现象,用具体的例子阐述了无穷维微积分,从振动方程本身入手研究三角函数．特别是详细地讲解了为什么某些初等函数的原函数不能表示成初等函数的Liouville理论．本书特别强调对数学的理解,从基本问题讲起,直达前沿领域,讲解透彻,内容与方式都别具一格。
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目录

  • 第一讲如何求切线？面积和体积1
    1面积的定义1
    2三角形的面积1
    3圆的面积——一个难题1
    4一个思考的问题:抛物线y=x2下的面积2
    5求切线——Fermat模式2
    6再回到求抛物线y=x2下的面积——Newton模式5
    7球体的体积6
    8一个挑战:求球体的表面积6
    9用两次Newton模式:更复杂体的体积——二重积分7
    第二讲更复杂函数求切线和积分9
    1第一个重要极限和三角函数的导数9
    2第二个重要极限和对数函数的导数9
    3指数函数的导数——反函数的求导法则11
    4更复杂函数的斜率的求法11
    5更复杂函数对应的面积——求积分的基本方法12
    6曲线的弧长12
    7求球体的表面积的另一个方法13
    第三讲无穷阶多项式——幂级数14
    1Newton二项式定理14
    2Newton计算π的近似值14
    3无穷阶的多项式——幂级数15
    4幂级数的另一个应用——Euler的神奇求和公式16
    5在一般点处的Taylor展开的微妙之处17
    第四讲多元函数极值问题？偏导数？曲线积分和外微分18
    1极值问题和偏导数18
    2导数和偏导数的更多问题18
    3Newton模式:沿着曲线做功——曲线积分20
    4关于二重积分的定义——面积是有方向的——外积的引入21
    5外微分形式和外微分,外微分的几何意义,Stokes公式23
    6通过复数求积分——复数的引入和复变函数25
    第五讲计算面积的若干新方法29
    1二重积分的一个有趣方法29
    2有理数的长度30 3区间分割？数的进位表示与一些有趣的集合31
    4积分的又一种计算方法——Lebesgue积分的计算与测度论的起源及其与概率论的联系31
    5另一种分割y轴计算面积法——函数的层饼表示33
    第六讲积分几何和等周不等式35
    1一个几何概率问题35
    2平面上刚体的不变测度37
    3凸集的支撑函数和几何概率问题的解38
    4另一个几何概率问题和Poincaré运动公式40
    5Bonnesen型等周不等式43
    第七讲等周不等式和测度集中46
    1BrunnMinkowski不等式和PrekopaLeindler不等式46
    2等周不等式和索伯列夫不等式48
    3球面上的等周不等式与测度集中51
    4Levy引理的另一种形式及其直接证明55
    第八讲无穷维函数的求导和积分61
    1无穷维函数的构造61
    2无穷维极值问题——变分法62
    3无穷维函数的积分与测度集中63
    第九讲振动问题与微分方程66
    1弹簧的振动——由方程本身建立正弦函数和余弦函数的性质66
    2弦的振动——Fourier级数——无穷多守恒量68
    3利用在平面上任意直线上的积分值来重构二元函数——一种简单情形72
    第十讲Liouville理论——为什么ex2的原函数不能表示成初等函数74
    1初等函数的构造74
    2初等函数的导数75
    3添加对数函数与指数函数后,关于复合多项式的导数的一个结果75
    4Liouville定理及其证明76
    5Liouville定理的应用——某些初等函数的原函数不能表示成初等函数的例子和证明80
    第十一讲若干杂题83
    1闭曲线所围面积公式与Green公式的另一个推导83
    2Euler交错和的表示和计算问题85
    3Brouwer的不动点定理和Poincaré不动点定理91
    4Rolle定理及其高维和无穷维推广的问题92
    5圆周上的函数94
    6对严格化理论的需要——极限语言的可操作性定义95
    7关于分数阶微积分的闲话97
    参考文献99
    后记101
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